2019-06-19 00:23:12
概率统计是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。在现实社会有着巨大应用价值。
题1：我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. 5/16 B. 11/32 C. 21/32 D. 11/16
分析：每个爻不是阴爻就是阳爻，概率各1/2，每次试验都是二项分布，P~(0,1)，设阳爻X=1，阴爻X=0，则试验6次恰有3个阳爻的概率 P(X=3)=C(1/2)(1-1/2)=5/16，可以看成从6个位置中任意选3个，有C种选法，选出的这3个位置都是阳爻，概率为(1/2)，剩下3个位置都是阴爻，概率为(1/2)，相乘即可，答案选A
题2：甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
分析：显然，甲队在系列赛中有主场优势，也有主场哨（当然，乙队也有，说不定吹得更猛）。
不说题外话了，既然甲队以4∶1获胜，则双方只比了5场，甲队主客场安排为“主主客客主”是不是从这5场任选4场算甲队胜的概率呢？不对！如果前4场都是甲队胜，第5场就没有比的必要了，甲队以4∶1获胜，暗含甲队在前4场输且仅输了一场，第5场甲队胜了。第5场甲队为主场，胜率0.6，前4场又可以分2种情况：
（Ⅰ）甲队输了主场。C(1-0.6)×0.6×0.5×0.5=3/25
（Ⅱ）甲队输了客场。C(1-0.5)×0.5×0.6×0.6=9/50
综上，甲队以4∶1获胜的概率是 (3/25+9/50)×0.6=9/50=0.18
题3：为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p=0，p=1，p=ap+bp+cp(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．
(i)证明：{p-p}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；
(ii)求p，并根据p的值解释这种试验方案的合理性．
分析：
（1）一轮试验中甲药的得分有3种情况：甲比乙好（+1）, 一般好/一般差（0）, 甲比乙差（-1），根据甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β可得：
P(X=1)=α(1-β)
P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)=2αβ-α-β+1
P(X=1)=β(1-α)
之后将其列表写出（分布列略）
（2）将α=0.5，β=0.8代入（1）中求出的分布列，可得 a=0.4, b=0.5, c=0.1
即 p=0.4p+0.5p+0.1p(i=1,2,…,7) ①
(2-i)整理①可得： 5p=4p+p(i=1,2,…,7)
即 p-p=4(p-p)(i=1,2,…,7)
由此可知{p-p}(i=0,1,2,…,7)为等比数列，公比为4
(2-ii) 要求p，现在我们知道p=0，p=1，{p-p}为公比为4的等比数列，观察{p-p}，对其求和会消掉中间项，设{p-p}前n项和为S
S=(p-p)+(p-p)+…+(p-p)=p-p=(p-p)(1-4)/(1-4)
因为p=0， 所以 p=p(4-1)/3
同理 S=p-p=(p-p)(1-4)/(1-4)
即 p=p(4-1)/3
下面将p与p相比，消去p，同时注意到(4-1)分解因式后可以消去(4-1)
p/p=(4-1)/(4-1)=1/(4+1)=1/257
由于p=1， 因此p=1/257
p代表甲药累计得4分，最终认为甲药比乙药更有效，其概率为1/257<0.004，概率很低。因为此时乙药也是4分，实际情况无法判断甲药优于乙药。此外，从计算p的过程中可以看出，它与两种药开始赋予的治愈率α和β无关，只与试验轮次有关，说明该评价方法具有一定的客观性。
